What is true Equivalence principle in gravitation theory?

The Equivalence principle is treated as one of the corner-stones of gravitation theory. However, there exist its different formulations. One separates “weakest”, “weak”, “middle-strong” and “strong” Equivalence principles. All of them are based on the empirical equality of inertial mass, gravitational active and passive charges, and they establish the existence of a certain reference frame, where physical laws would take the known special relativistic form, i. e., a gravitational field effectively disappears.

The “weakest” Equivalence principle is restricted to the motion law of a probe point mass in a uniform gravitational field.

Its sui generis localization is the “weak” Equivalence principle that states the existence of a desired local inertial frame at a given world point. This is the case of equations depending on a gravitational field and its first order derivatives, e. g., the equations of mechanics of probe point masses, and the equations of electromagnetic and Dirac fermion fields.

The “middle-strong” Equivalence principle is concerned with any matter, except a gravitational field, while the “strong” one is applied to all physical laws.

Apparently, only the “weakest” and “weak” Equivalence principles are true. It is the “weak” Equivalence principle that the identification of a gravitational field to a pseudo-Riemannian metric satisfies to.  However, the “weak” Equivalence principle provides a necessary, but not sufficient condition of such identification. Moreover, it does not explain the existence of a gravitational field itself.

To overcome these difficulties, we have reformulated the Equivalence principle as follows (see References).

In geometric terms Special Relativity can be characterized as the geometry of Lorentz invariants. Then the Equivalence principle can be formulated to require the existence of Lorentz invariants on a world manifold X. We agree to call it the geometric Equivalence principle. Its requirement holds if and only if the tangent bundle TX of X admits an atlas with Lorentz transition functions, i. e., a structure group of the associated principal bundle LX of frames in TX is reduced to the Lorentz group SO(1,3). By virtue of the well known theorem, this reduction takes place if and only if the quotient bundle LX/SO(1,3)->X admits a global section, which is a pseudo-Riemannian metric on X.

Thus the geometric Equivalence principle provides the necessary and sufficient conditions of the existence of a pseudo-Riemannian metric on a world manifold that we observe as a gravitational field.

Moreover, if a structure group of the frame bundle LX is reduced to the Lorentz group, it always is reduced to the spatial rotation group SO(3). In accordance with the above mentioned theorem, this reduction defines a space-time decomposition of the tangent bundle TX and, thus, makes a world manifold X into a space-time.

The geometric Equivalence principle also provides the necessary condition of the existence of Dirac’s spinor fields, possessing Lorentz symmetries, on a world manifold.  

Thus, one can think of an observable Dirac fermion matter as being the underlying physical reason of the geometric Equivalence principle and, consequently, the existence of a pseudo-Riemannian gravitational field.

In gravitation theory, the geometric Equivalence principle characterizes spontaneous symmetry breaking of space-time symmetries and, thus, clarifies the physical nature of a gravitational field as a Higgs field responsible for this symmetry breakdown.

References:

D. Ivanenko, G. Sardanashvily, The gauge treatment of gravity, Physics Reports 94 (1983) 1-45.

G. Sardanashvily, Gauge gravitation theory from the geometric viewpoint, Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 3 (2006) N1 v-xx; arXiv: gr-qc/0512115

On relativistic mechanics in a very general setting

As it was mentioned in my previous post (Mechanics as particular classical field theory), non-relativistic mechanics as like as classical field theory (Classical field theory is complete…) is adequately formulated in the terms of fiber bundles and jet manifolds of their sections.

The geometric formulation of relativistic mechanics involves a more sophisticated technique of jets of one-dimensional submanifolds. In the framework of this formalism, submanifolds of a manifold Q are identified if they are tangent to each other at points of Q with some order. Jets of sections (Well-known mathematics that theoreticians do not know) are particular jets of submanifolds  when Q-> R is a fiber bundle and these submanifolds are its sections. In contrast with jets of sections, jets of submanifolds in relativistic mechanics admit arbitrary transformations of time t’= t(q) including the Lorentz transformations, but not only t’=t+const. in the non-relativistic case.

Note that  jets of two-dimensional submanifolds provide a formulation of classical string theory.

References:

G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, Geometric Formulation of Classical and Quantum Mechanics  (World Scientific, 2010)

G. Sardanashvily, Relativistic mechanics in a general setting, Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 7 (2010) 1307-1319

Современная физика: иллюзия материи

Зададимся вопросом: может ли структура существовать без носителя? Философия, исходя из умозрительного понятия структуры системы, однозначно отвечает, что не может. Вот образчик философствования: система – это «множество элементов, находящихся в целостности», а целостность – «внутреннее единство». Однако современная теоретическая физика подсказывает другой ответ.

В математике известны разные понятия структуры: род структуры в теории (весьма казуистически определяемый у Бурбаки), решетки (алгебраическое понятие, обобщающее булевы алгебры), топологическая структура, геометрическая структура и т. д. Для физических приложений я бы предложил математическое определение структуры как n-арного отношения на множестве, задаваемого некоторым подмножеством n-кратного декартова произведения этого множества. Это понятие некоторым образом коррелирует с определением Бурбаки и поглощает другие определения структуры. В частности, морфизмы множеств являются в этом смысле структурами. Тем не менее, во всех существующих вариантах математическая структура вводится на множествах, то есть имеет носитель.

В физике, однако, оказывается, что множество, на котором определена та или иная структура, часто само состоит из элементов некоторой структуры. Например, классическое поле, определяемое как сечение расслоения, является морфизмом и тем самым структурой, называемой геометрической. Очевидно, что квантовые операторы как элементы некоторой алгебры являются алгебраической структурой. Более того, согласно известной конструкции ГНС в алгебраической квантовой теории, гильбертово пространство состояний, на котором действуют квантовые операторы, состоит из классов эквивалентности этих операторов, имеющих одинаковое среднее значение, то есть тоже является множеством элементов алгебраической структуры. А вот точечная масса в классической механике не является элементом какой-либо структуры. Однако в современных объединенных моделях фундаментальных взаимодействий квантовое поле приобретает массу в результате взаимодействия с хиггсовским полем, то есть получается, что масса – это производная характеристика двух структур. Таким образом, вещество, имеющее массу, как форма материи перестает быть фундаментальным понятием. Например, частица и античастица, аннигилируя, превращаются в фотоны.

Сейчас, с теоретико-математической точки зрения, все известные фундаментальные физические объекты – это та или иная структура, контент которой составляют элементы некоторой другой структуры, имеющей своим контентом  еще одну структуру и т.д. Причем одна и та же структура может быть реализована на разном контенте или вообще отделена от контента, подобно тому, что морфизмы какого-либо векторного пространства – это представление некоторой абстрактной группы, которая определена сама по себе и допускает другие представления.

Если вещества как такового нет, а классические и квантовые поля – это структуры, тогда что является носителем структуры в физическом мире? Существует ли вообще такой носитель? При этом материя, конечно, не исчезает, но становится несколько иллюзорной. Это скорее уже материальная структура, «отражаемая в сознании». Причем главное в этом понятии – структура, а материальное – ее производная характеристика.

Признание, что структура может существовать без носителя, открывает новое окно как для «богоискательства» (...  о «гипотезе Бога» …), так и для физической теории.

Например, в 70-е годы я и Д.Д. Иваненко предложили так называемую модель праспиноров, в которой простейшие логические высказывания «да» и «нет» сопоставлялись с образующими элементами групп Кокстера, описывающими как пространственно-временные, так и внутренние симметрии. Дело в том, что конечные группы Кокстера представляют собой известные группы Вейля отражений алгебр Ли и весовых диаграмм их конечномерных представлений, то есть конечные группы Кокстера реализуют свои представления на тех же мультиплетах частиц, что и обычные группы симметрий. С другой стороны, пространственно-временные группы поворотов и трансляций – это тоже группы Кокстера, порождаемые отражениями относительно всевозможных гиперповерхностей. Более того, в качестве топологической модели частиц предлагались пространства с группами симметрий Кокстера в качестве гомотопических групп. Таким образом, в нашей модели отождествлялись простейшие физическая, логическая и даже топологическая структуры. В том или ином аспекте подобные простейшие объекты рассматривали также К. Вейцзекер, Д. Финкельштейн, Дж. Уиллер и др. Однако эта модель пока так и не получила развития, поскольку ее не удалось связать с какой-либо содержательной геометрической теорией.

 

Mechanics as particular classical field theory

Hamiltonian autonomous mechanics is well described in the framework of symplectic and Poisson geometry. This description fails to be extended to time-dependent mechanical systems subject to time-dependent transformations.

Lagrangian and Hamiltonian time-dependent non-relativistic mechanics is adequately formulated in terms of fiber bundles Q->R over the time axis R (see References).  This formulation is similar to that of classical field theory phrased in the language of fiber bundles Y->X and jet manifolds JY of their sections (Classical field theory is complete…).  In particular, the phase space of time-dependent mechanics is the vertical cotangent bundle VQ of its configuration space Q which is analogous to a polysymplectic phase space of covariant Hamiltonian field theory (What is true Hamiltonian field theory).

However, an essential difference between time-dependent non-relativistic mechanics and classical field theory lies in the fact that, in field theory, connections on Y->X are dynamic variables (e.g., gauge fields), whereas connections on Q->R are always flat and, therefore, they are not dynamic variables, but characterize reference frames in non-relativistic mechanics.

Thus, fiber bundles and jet manifolds of their sections provide the comprehensive mathematical formulation both of classical field theory and non-relativistic time-dependent mechanics.

Let us note that a geometric formulation of relativistic mechanics as like as string theory involves a more sophisticated technique of jets of submanifolds.

Ссылки:

WikipediA: Non-autonomous mechanics

L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, Gauge Mechanics (World Scientific, 1998)

G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, Geometric Formulation of Classical and Quantum Mechanics (World Scientific, 2011)

G. Sardanashvily, Advanced mechanics. Mathematical introduction  arXiv: 0911.0411

История советской физики: "Вертикаль" Академии

Такой структуры, как советская Академия наук (АН), ни в одной несоциалистической стране не было и нет. Да и в соцстранах АН были созданы по образу и подобию советской. Академии есть во многих странах, и порой не одна, но там они вроде «a club» – сообщества по интересам.

В СССР Академия была своеобразным министерством по науке. Правда, не вся наука страны находилась в ее ведении. Существовал Госкомитет по науке и технике при Совмине, курировавший отраслевые науки при министерствах, которые, однако, были весьма независимыми. В его подчинении находилась и вузовская наука, которая организационно была подотчетна Научно-техническому совету Минвуза СССР. Но вузовская наука не была отраслевой и охватывала все научные исследования, проводившиеся в университетах и учебных институтах. По широте тематики вузовская наука была сопоставима с академической. Таким образом, по своей структуре, подчинению и финансированию наука в СССР была весьма многообразной, что позволяло решать разноплановые задачи. Однако вся наука была государственной, и все координировал Отдел науки ЦК.

Если судить формально, по вывескам, АН как бы занималась фундаментальной наукой, но за вывесками сплошь и рядом скрывалась «оборонка». В то же время, исследовательские центры в Дубне и Протвино находились не в ведении Академии, а фундаментальная наука развивалась также в вузах.

Конечно, АН СССР не была обычным министерством. Формально это была самостоятельная структура, не подчиненная Совмину и проходившая отдельной строкой в государственном плане. Она была наследником дореволюционной Российской академии наук, которая пережила Революцию как чисто корпоративная организация ученых и была использована большевиками как уже готовая структура для воссоздания в стране науки. Однако параллельно организация науки проводилась и по линии ВСНХ, в ведении которого находился, например, Ленинградский физтех. От дореволюционных времен АН СССР унаследовала некоторые формальные вольности, в частности коллегиальность, выборность, которые, конечно, тщательно контролировалась.

Власти всегда было непросто иметь дело с учеными. Властная вертикаль, по принципу «я начальник – ты дурак», в науке не выстраивалась. Конечно, неугодного ученого можно было административно прижать, арестовать, а то и расстрелять, и тут не церемонились. Однако чтобы расправиться с ним не как с обычным гражданином, а именно как с ученым, надо было привлекать других ученых – приходилось возиться. Поэтому отечественную науку нанизали на другую вертикаль – «академическую», по адаптированному принципу «я академик – ты дурак».

Правда, в Академии всегда таилась какая-то фронда. Дело было в том, что академик себя уважал. Вот «средний» профессор себя не уважал, и его не уважали. «Средних» профессоров было как мусора. А «среднего» академика не было. Академик – это штучный товар, и он собой гордился, причем не только в сфере науки. Условия жизни у академиков были едва ли не на уровне зам. министров.

Хотя само по себе количество академиков и членкоров союзной Академии наук было не очень велико, все они совмещали по несколько постов и были везде: не только в академической, но и в вузовской, и в отраслевых науках. Они заведовали кафедрами и лабораториями, возглавляли институты и научные центры, входили во всевозможные советы, комиссии и редколлегии. Если он – академик совсем в другой области науки, ты все равно – дурак. Особость распространялась и на научное окружение академика, да и на все, что имело прилагательное «академический». Академический снобизм – это было самое невинное. Хуже, если на том или ином научном направлении заводился академик. Все, кто с ним научно расходились, превращались в маргиналов – вовсе не обязательно по его персональной воле, а просто автоматически – с точки зрения научного сообщества. Порой, таким образом монополизировались целые области науки.

Например, в 60 – 70-х годах в теоретической физике было две монополии: школа Л.Д. Ландау и школа Н.Н. Боголюбова. Впрочем, то, чем занимались «люди Ландау», уже нельзя было в эти годы считать теоретической физикой, но сами себя они продолжали называть теоретиками. Н.Н. Боголюбов начал подниматься в 50-е годы, вернувшись из «Арзамаса-16» и став академиком. Он возглавил теоротдел в ОИЯИ в Дубне, отдел теоретической физики в «стекловке» (МИАН) и кафедру теоретической физики на физфаке МГУ. Вероятно, его продвигал отдел науки ЦК как противовес набравшему тогда непомерный вес Ландау. Боголюбов – математический физик и математик, и «людям Ландау» он был «не по зубам». Особенно он «вошел в силу» в 60-е годы: академик-секретарь отделения математики АН СССР (с 1963 г.), директор ОИЯИ в Дубне (с 1965 г.), директор Института теоретической физики АН Украины (с 1965 г.), с сохранением прежних должностей в МИАНе и университете. Школа Боголюбова полностью монополизировала исследования в области квантовой теории поля. В частности, большие надежды возлагались на изучение аналитических свойств амплитуды рассеяния и дисперсионные соотношения. Несомненно, все это были передовые для того времени работы. Однако монополизм этой школы привел к тому, что наши теоретики поначалу «прозевали» калибровочную теорию, ставшую магистральным направлением теории поля и элементарных частиц, и много еще другого.

А вот теория гравитации не была монополизирована. На верховенство в ней претендовал В.А. Фок, но он был ученым-одиночкой, многолюдной школы не создал и в сфере гравитации занимался узкой тематикой – уравнениями движения. Еще из академиков в 60 – 70-е годы по теории гравитации активно работал Я.Б. Зельдович, кое-что делали И.М. Лифшиц, И.М. Халатников, В.Л. Гинзбург. Однако монополизм «академистов» был предотвращен превентивными организационными действиями Д.Д. Иваненко. В 1961 г., несмотря на противодействие Фока, Д.Д. Иваненко организовал 1-ю Советскую гравитационную конференцию и инициировал создание в 1962 г. Советской гравитационной комиссии при НТС Минвуза СССР. В нее вошли как «вузовцы», так и «академисты».

Конечно, теоретику для работы много не надо, и он волен заниматься, чем пожелает, несмотря на любой монополизм. Однако возникала проблема с публикациями. В СССР было пять ведущих журналов по теоретической физике: УФН, ДАН, ЖЭТФ и «Письма ЖЭТФ», «Ядерная физика» и ТМФ. Все они контролировались той или иной академической группой, и к «неакадемическим» авторам в них относились с некоторым снобизмом. Не то чтобы эти журналы печатали только «своих», но «своих» они публиковали всегда. Соответственно, «свои» диктовали стиль журнала.

Выстраивание «академической вертикали» породило в советской науке жесткую организационную борьбу по принципу: «один против всех и все против одного». Под академиков создавали кафедры, лаборатории, институты, выделяли места. Поэтому ставки были велики и вопрос стоял ребром: «либо пан (академик или членкор), либо пропал». Неудачник становился маргиналом. Методы борьбы были самые грязные: интриги, доносы, хождения в ЦК, срыв командировок и публикаций, задержка диссертаций и т. д., хотя в те годы обходились уже без «политики», арестов и расстрелов. Выборы в Академию давно уже стали фарсом: все обделывалось заранее «междусобойчиком» и в ЦК.

Как же большие ученые и, вообще-то, интеллигентные люди опускались до всяких гадостей? Действовал профессиональный чекистский прием. Если некто мучился совестью, колеблясь сдать друга или родственника, чекисты его убеждали, что, наоборот, это друг (родственник) его предал, изменив родине, связавшись с врагами. Эта психологическая «подстава» действовала почти безотказно. Так и большой ученый вроде бы не подлость делает, но ради науки и отечества старается.  

В иерархической системе, каковой стала советская наука, успех одного – это всегда неудача других. Такой системе талант опасен. Он нужен, только если работает на команду, на шефа, пока он – исполнитель. И подняться наверх ему не дадут, покуда там место не освободится, буквально по мере вымирания. Потому что в советской науке «кто не академик, тот дурак или маргинал».

Ощущал ли я все это на себе? Нет, я изначально, придя к Иваненко, был именно ученым-маргиналом. Хотел ли я стать академиком? Не успел захотеть. Сначала 20 лет я был «молодым ученым», а потом, в 90-е, вышел на волю мировой науки, где все эти «тату» не имеют значения. Там всё просто: результаты – на стол, публикации – на стол, тогда «сочтемся славою». Что мне Академия?

Ссылка:

Г.А. Сарданашвили, Я - ученый. Заметки теорфизика (УРСС, 2010)

What is fundamental science?

What is fundamental science? In my opinion, it is the science that is so everywhere in the Universe. These are only mathematics, theoretical physics and quantum physics, including quantum chemistry. The others are of significance only to people on the Earth. Though there is a question about mathematics, too. The foundation of our mathematics is mathematical logic and set theory. However, their postulates have come from people experience and, therefore, fail to be universal.

Well-known mathematics that theoreticians do not know

Jet manifolds provide the conventional language of theory of (nonlinear) differential equations, differential operators and Lagrangian systems on fiber bundles. In the framework of jet formalism, sections of fiber bundles over a manifold X are identified by a finite number of terms of their Taylor series at points of X. A key point is that such equivalence classes of sections constitute a finite-dimensional smooth manifold. This fact enables one to consider a finite-dimensional configuration space of a dynamic system parameterized by a finite number of coordinates, but not ill-defined infinite-dimensional functional spaces.

Formalism of jet manifolds is about of 50 years old, but it remains unknown for theoreticians. At the same time, classical field theory and non-autonomous classical mechanics are adequately formulated in the terms of jet manifolds.

Moreover, jet manifolds provide the language of modern differential geometry to deal with general connections which are represented by sections of jet bundles. As a consequence, the dynamics of field systems and mechanical systems includes connections in a natural way.

What about describing dynamic systems, theoreticians remain in the middle of last century.

References:

WikipediA: Jet (mathematics), Jet bundle

G. Sardanashvily, Five lectures on the jet manifolds in field theory arXiv: hep-th/9411089

G. Sardanashvily, Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians arXiv: 0908.1886

G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, Advanced mechanics. Mathematical introduction arXiv: 0911.0411

G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, Advanced Classical Field Theory (World Scientific, 2009)

G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, Geometric Formulation of Classical and Quantum Mechanics (World Scientific, 2010)

Из книги "Я - ученый ...": Мое кредо

«Ваше политическое кредо? – Всегда!». Мне нравится эта фраза из «Двенадцати стульев» Ильфа и Петрова.

Я – ученый-материалист. Это не философское кредо. Материализм – это мое обыденное мировоззрение, основанное на том, что существует объективная реальность, которая является моим гносеологическим «не-Я». Меня заботит ключевая, как я считаю, методологическая проблема современной науки – ее антропоморфность, а в современной философии нет ничего о современной науке. Философы ее просто не знают.

Среди главных достижений математики XX века называют теоремы Геделя о неполноте (наряду с КАМ теоремой Колмогорова – Арнольда – Мозера). Первая из теорем Геделя утверждает, что во всякой формальной системе суждений в математической логике (сколько-нибудь сложной, содержащей арифметику) найдется формально неразрешимое суждение, то есть ни само это суждение, ни его отрицание не являются выводимыми в этой системе. Вторая теорема Геделя устанавливает, что при некоторых дополнительных условиях таким неразрешимым суждением является утверждение о непротиворечивости данной формальной системы. Эти теоремы, опубликованные К. Геделем в 1931 г., знаменовали неудачу предложенной Гильбертом программы формализации математики. Теоремы Геделя появились не на пустом месте, а развивали аксиоматическую теорию натуральных чисел Р. Дедекинда и Дж. Пеано. В то же время некоторые полагают, что Геделя стимулировали также философские работы Канта, суммируемые тезисом:

«Любая система суждений является или неполной, или противоречивой».

Для меня это ключевой принцип методологии науки.

Логика гносеологии – диалектика. Поэтому в моем понимании трудности и противоречия – это узловые точки познания. Чтобы развить что-то, в нем надо найти нестыковки, тогда есть с чего начинать и что придумывать. Отсюда и моя обычная реакция на тот или иной тезис – выявить в нем противоречия, а они всегда есть, ибо, как известно, «всякое высказывание ложно». Причем я это делаю с самым позитивными намерениями, но меня частенько обвиняют в том, что я норовлю все «очернить».

Как ученый-материалист, я следую представлению об объективной истине, которая для меня является главной целью науки. В марксистской материалистической философии объективная истина – это «правильное отражение объективной реальности в мысли». Она хотя и относительна, но единственна. Действительно, объективная реальность единственна, и ее правильное отражение, казалось бы, тоже единственно. Однако это неверно.

Объективная истина может быть многовариантной.

Это для меня еще один главный методологический принцип современной науки.

Будучи материалистом, конечно, я – атеист, причем подчас весьма «воинствующий». В дилемме «Бог есть – Бога нет» я выбираю последнее. Проблема состоит в том, что в рамках принятой мной концепции Бога, понимаемого как некий трансцендентный абсолют, его существование или несуществование в принципе недоказуемы. Поэтому мой выбор, что «Бога нет», это такая же вера, как и то, что «Бог есть». И, если несуществование Бога доказать нельзя, я, как ученый, обязан допускать возможность его существования (см. «О гипотезе Бога»). Поэтому, будучи «прожженным» материалистом, я порой рассуждаю в категории Бога. Кроме того, есть ли Бог или Бога нет, религия, как я уже отмечал, является неотъемлемым атрибутом всякой разумной формы жизни как вариант преодоления отчуждения между «Я» и «не-Я» (см. «Физик-теоретик о гипотезе Бога …»).

Как ученый, я – профессионал. Я уважаю профессионалов, кем бы они ни были, уже потому, что они профессионалы. Я их чувствую. Быть профессионалом – это стиль, это когда в своей области можешь все. Профессионалы – элита человечества. Гений – не обязательно профессионал, но гений может такое… На то он и гений. Мне кажется наглядным сравнение с бегунами на стометровку. Я – профессионал, который, фигурально выражаясь, бежит стометровку за 10 сек. Я никогда не стану рекордсменом за 9.8. Но я всегда пробегу стометровку за десять. Многие уже ушли со стадиона, а я до сих пор в науке бегу стометровку за десять.

Я люблю Италию (my love Italy), и я люблю Флоренцию. Этот тоже входит в мое кредо. Я был в Италии более полусотни раз, и на пару недель, и по несколько месяцев. Все в Италии для меня одухотворено историей, великими именами и событиями. В Италии моя жизнь простирается на тысячелетия назад и я ощущаю себя так, как будто мне 2,5 тысячи лет. В Риме и Флоренции дома XVI века – это массовая застройка. По дороге в университетский городок Camerino я сотни раз проезжал мимо холма, с которого армия Ганнибала обрушилась на римлян в битве при Ареццо в 217 г. до н. э., и каждый раз это меня впечатляет. Во Флоренции есть маленькая церковь Santissimi Apostoli, почти не перестроенная со времен Данте (если идти по Ponte Vecchio в центр, то надо свернуть в первый переулок налево). Я всегда в нее прихожу и сижу если не на той же скамейке, то среди тех же стен, что и Данте. Я ритуально захожу в кафедрал Santa Croce, чтобы постоять у надгробий Галилея, Микеланджело и Макиавелли. В Риме на Forum Romanum меня поражает маленький прудик с водой, в Доме весталок, которому более 2 тысяч лет; рядом Курия – на ее ступенях был убит Цезарь, а неподалеку – Мамертинская тюрьма, где сидели апостолы Петр и Павел – реальные люди, сошедшие со страниц Евангелия. Упомяну и каменный мостик, перекинутый через придорожную канаву, который я увидел недалеко от города Кампобассо, к югу от Рима. Ему тоже почти 2 тысячи лет. По нему через канаву переходили покоренные самниты, усмирившие их римляне, византийцы, арабы, норманны – вся двухтысячелетняя история, и я тоже по нему прошел. Особенно я люблю Флоренцию. Она как бы хранит творческий дух гениев Возрождения: Донателло, Брунеллески, Микеланджело, Рафаэля... Я чувствую их, и я с ними «одной крови».

Ссылка:

Г.А. Сарданашвили "Я - ученый. Заметки теорфизика" (УРСС, М., 2010)

What is true Hamiltonian field theory?

Classical field theory is Lagrangian theory where field equations are Euler – Lagrange equations derived from a Lagrangian (see my post Classical field theory is complete: the strict geometric formulation).  This is the case of all observable classical fields, which are electromagnetic, gravitational and Dirac fermion fields. One also considers classical non-Abelian gauge fields described by the Yang – Mills Lagrangian. A problem is Hamiltonian field theory.

Applied to field theory, the familiar symplectic Hamiltonian technique takes the form of instantaneous Hamiltonian formalism on an infinite-dimensional phase space, where canonical variables are field functions at some instant of time. The corresponding Hamilton equations are ill defined, and they are not differential equations. Therefore, this Hamiltonian formalism fails to be a counterpart of the Lagrangian one, and it is applied only to quantization of fields, e.g., in quantum gauge theory.

In mechanics, Hamilton equations are first order dynamic equations, and Hamilton formalism is associated to the first order Lagrangian one. Therefore, let us restrict our consideration to first order Lagrangian field theory when a Lagrangian depends on derivatives of fields of not more than first order. Note that Lagrangians of all realistic field models are of this type. These are Lagrangians of gauge and Dirac fermion fields. The second order Hilbert – Einstein Lagrangian of General Relativity is equivalent to the first order one, and Lagrangians of metric-affine gravitation theory, where dynamic variables are both a pseudo-Riemannian metric and a linear connection, also are of first order.

Let us follow the conventional geometric formulation of classical field theory where fields are represented by sections of some fibre bundle Y->X. Their configuration space of first order Lagrangian theory on Y->X is the first order jet manifold JY of Y->X.  A first order Lagrangian L is defined as a density on JY, and it provides the Legendre map L of the configuration space JY to the phase space P which is a finite-dimensional manifold endowed a polysymplectic form. The true Hamiltonian counterpart of classical first order Lagrangian field theory is covariant Hamiltonian formalism on P where canonical momenta correspond to derivatives of fields with respect to all world coordinates, not only the time. Covariant Hamilton equations are equivalent to the Euler – Lagrange equations in the case of hyperregular Lagrangians L when the Legendre map L is a diffeomorphism. If a Lagrangian L is degenerate, we come to a multi-Hamiltonian theory on the constraint subspace L(JY) of the phase space P in general. This is the case of all the above mentioned field theories.

References:

Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Advanced Classical Field Theory (World Scientific, 2009)

Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Covariant Hamilton equations for field theory, Journal of Physics  A: Theoretical and Mathematical, 32 (1999) 6629-6642

WikipediA: Covariant Hamiltonian field theory

Современный «Курс теоретической физики. Теорминимум-XXI»

Вышедшая из печати моя книга: Г.А. Сарданашвили, Современные методы теории поля. 5. Гравитация (УРСС, 2011) завершает издание моего 5-ти томного курса теоретической физики Современные методы теории поля, в котором дано изложение основных алгебраических, геометрических и топологических методов теории поля, квантовой теории, классической и квантовой механики. Курс включает книги:

Г.А. Сарданашвили, Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля (УРСС, 1996) (2-е изд. 2011)

Г.А. Сарданашвили, Современные методы теории поля. 2. Геометрия и классическая механика (УРСС, 1998)

Г.А. Сарданашвили, Современные методы теории поля. 3. Алгебраическая квантовая теория (УРСС, 1999) (2-е изд. 2011)

Г.А. Сарданашвили, Современные методы теории поля. 4. Геометрия и квантовые поля (УРСС, 2000)

Г.А. Сарданашвили, Современные методы теории поля. 5. Гравитация (УРСС, 1996) (2-е изд. 2011)

(см. также Ссылки, [1] Список публикаций).

Этот курс был задуман как альтернатива известному Курсу теоретической физики Ландау и Лифшица, который отражает уровень теоретической физики середины прошлого века. Но уже тогда в 70-е годы зародилась совсем другая теоретическая физика, основанная на математическом аппарате дифференциальной геометрии и алгебраической топологии. Она была стимулирована успехами теории калибровочных полей как универсального механизма описания фундаментальных взаимодействий и ее строгой математической формулировкой в терминах геометрии расслоенных пространств.

Расслоения, связности и многообразия струй, суперсимметрии, супергеометрия и некоммутативная геометрия, гомологии и когомологии, солитоны, инстантоны и топологические заряды, многомерные модели, топологическая теория поля, аномалии, квантовые группы и алгебры Хопфа, геометрическое и деформационное квантования, группоиды, алгеброиды и т. д. составляют стандартный контент современных квантовых и полевых моделей (Ссылки, [2]). Ничего этого нет ни у Ландау – Лифшица, ни в подавляющем большинстве отечественных университетских учебников и курсов.

Мой Курс теоретической физики зародился еще в начале 80-х при чтении лекций для студентов Физического ф-та МГУ, когда мы выпустили два учебных пособия (Ссылки,  [1]):

Д.Д. Иваненко, П.И. Пронин, Г.А. Сарданашвили, Групповые, геометрические и топологические методы теории поля, Части I и II (Изд. МГУ, 1983).

В 1991 г. мы подготовили книгу:

Д.Д. Иваненко, Ю.Н. Обухов, Г.А. Сарданашвили, Введение в геометрическую теорию калибровочных полей (Высшая школа, 1991),

она уже была набрана в типографии (Ссылки,  [1]), но началось …, и книга так и не вышла.

Я продолжал читать лекции по алгебраическим, геометрическим и топологическим методам в квантовой теории и теории поля на Физическом факультете МГУ и в Университете Камерино в Италии и один за другим подготовил и выпустил книги своего Курса теоретической физики. Это как бы «Теорминимум-XXI» для тех, кто собирается заниматься современной теоретической физикой. Но для профессиональной работы он недостаточен. Полноценное изложение необходимых математических методов и теоретических моделей дано в следующих книгах (Ссылки, [1], [3]): 

L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, Connections in Classical and Quantum Field Theory (World Scientific, 2000),

G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics (World Scientific, 2005),

G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, Advanced Classical Field Theory (World Scientific, 2009),

G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, Geometric Methods in Classical and Quantum Mechanics (World Scientific, 2010),

а также в «лекциях для теоретиков» (Ссылки, [4] – [7]) в arXiv.

Ссылки:

1. Список публикаций

2. Сайт Курс теоретической физики. Теорминимум-XXI
3. Теорминимум-XXI на Facebook

4. Sardanashvily at Mendeley

5. Fiber bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians, arXiv: 0908.1886

6. Lectures on supergeometry, arXiv: 0910.0092

7. Lectures on differential geometry of modules and rings, arXiv: 0910.1515

8. Advanced mechanics. Mathematical introduction, arXiv: 0911.0411