The God has created a man in order that he creates that the God fails to do

Sunday, 31 July 2011

Geometry in quantum theory IV: Modern geometries

Contemporary quantum models appeal to a number of new algebraic structures and the associated geometric techniques. Let us mention the following ones.

(i) Supergeometry of graded manifolds and different types of superrmanifolds (Archive).

(ii) Non-commutative geometry and non-commutative field theory (Archive).

(iii) Hopf algebras, including quantum groups, and, in particular, two types of quantum bundles.

(iv) Formalism of groupoids and Lie groupoids, including quantization via groupoids.

(v) Finally, one of the main point of the formality theorem in deformation quantization is that, for any algebra A over a field of characteristic zero, its Hochschild cochain complex and its Hochschild cohomology are algebras over the same operad. This observation has been the starting point of 'operad renaissance'. Monoidal categories provide numerous examples of algebras for operads. Furthermore, homotopy monoidal categories lead to the notion of a homotopy monoidal algebra for an operad. In a general setting, one considers homotopy algebras and weakened algebraic structures where, e.g., a product operation is associative up to homotopy. At the same time, the formality theorem is also applied to quantization of several algebraic geometric structures such as algebraic varieties.

G.Giachetta, L.Msngiarotti, G.Sardanashvily, Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics (WS, 2005)
G.Sardanashvily, G.Giachetta, What is geometry in quantum theory, arXiv: hep-th/0401080

Monday, 25 July 2011

Geometry in quantum theory III: Differential geometry of modules and rings

Geometry in quantum systems speaks mainly the algebraic language of rings, modules and sheaves due to the fact that the basic ingredients in the differential calculus and differential geometry on smooth manifolds (except non-linear differential operators) can be restarted in a pure algebraic way.

Any smooth real manifold X is homeomorphic to the real spectrum of the real ring C(X) of smooth real functions on X provided with the Gelfand topology. Furthermore, the sheaf CX of germs of functions from C(X) on this topological space fixes a unique smooth manifold structure on X such that it is the sheaf of smooth functions on X. The pair (X,CX) exemplifies a local-ringed space. One can associate to any commutative ring A the particular local-ringed space, called an affine scheme, on the spectrum Spec(A) of A endowed with the Zariski topology.

Given a connected smooth manifold X and the ring C(X) of smooth real functions on X, the well-known Serre -- Swan theorem states  that a C(X)-module is finitely generated projective iff it is isomorphic to the module of sections of some vector bundle over X. Moreover, this  isomorphism is a categorical. A variant of the Serre -- Swan theorem for Hilbert modules over non-commutative C*-algebras holds.

Let K be a commutative ring, A a commutative K-ring, and P, Q some A-modules. The K-linear Q-valued differential operators on P can be defined. The representative objects of the functor Q->diff(P,Q) are the jet modules JP of P. Using the first order jet module, one also restarts the notion of a connection on an A-module P. For instance, if P is a C(X)-module of sections of a smooth vector bundle Y->X, we come to the familiar notions of a linear differential operator on Y, the jets of sections of Y->X and a linear connection on Y->X. In supergeometry, connections on graded modules  over a graded commutative ring and graded local-ringed spaces are defined.

In non-commutative geometry, different definitions of a differential operator on modules over a non-commutative ring have been suggested. Roughly speaking, the difficulty lies in the fact that, if d is a derivation of a non-commutative ring A, the product ad, where a is from A, need not be so. There are also different definitions of a connection on modules over a non-commutative ring.

Let K be a commutative ring, A a (commutative or non-commutative) K-ring, and Z(A) the center of A. Derivations of A make up a Lie K-algebra d(A). Let us consider the Chevalley -- Eilenberg complex of K-multilinear morphisms of d(A) to A, seen as a d(A)-module. Its subcomplex of Z(A)-multilinear morphisms is a differential graded algebra, called the Chevalley -- Eilenberg differential calculus over A.
If A is the real ring C(X) of smooth real functions on a smooth manifold X, the module d C(X) of its derivations is the Lie algebra of vector fields on X and the Chevalley -- Eilenberg differential calculus over C(X) is exactly the algebra of exterior forms on a manifold X where the Chevalley -- Eilenberg coboundary operator d coincides with the familiar exterior differential. In a general setting, one therefore can think of elements of the Chevalley -- Eilenberg differential calculus over an algebra A as being differential forms over A.


G.Giachetta, L.Mangiarotti, G.Sardanashvily, Geometric and Algebaic Topological Methods in Quantum Mechanics (WS, 2005)
G.Sardanashvily, G.Giachetta, What is a geometry in quantum theory, arXiv: hep-th/0401080

Monday, 18 July 2011

Does Impact Factor show anything?

The Impact Factor 2010 of scientific journals has been recently published. At present, IF is considered as an important characteristic of scientific journals. But does it show anything?

Recall that IF2010 of a journal “A” equals N/M where N is the number of citations in 2010 of articles published in “A” in 2008 – 2009 and M is the number of articles published in “A” in 2008 - 2009. For instance, if N=100 and M=100, then IF=1.000.

I am a mathematical physicist. Therefore, let us look at the Table of IF2010 of journals in mathematical physics. The most authoritative journal in this area is Communications in Mathematical Physics. However, it occupies the 12th position with IF=2.000 in comparison with the highest IF=3.144.

It is readily observed that thin journals of about 50 articles in a year a priory have advantages over the thick ones. At the same time, thick journals can widen their scope that gives an advantage over the specialized one. For instance, this is a recent practice of Journal in Mathematical Physics (IF=1.291) and Journal of Physics A (IF=1.641).

IF of a journal in mathematical physics is higher than it is closer to applications and theoretical physics. In particular, the above mentioned Journal of Physics A has IF=1.641, whereas the theoretical journal Classical and Quantum Gravity has IF=3.098.

A problem is that only one well-cited article can essentially increase IF of a journal during two years. For instance, in the example above, let a journal “A” in 2007 published an article quoted 101 times every year. Then its IF in 2008 and 2009 becomes equal to 2.000 in comparison with its usual value 1.000

This is the case of our International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. One article on gravitation theory published in our Journal in 2007 and cited 491 times made its IF2008=1.464 and IF2009=1.612 in contrast with 0.662 in 2007 and 0.757 in 2010.

Wednesday, 13 July 2011

Geometry in quantum theory II: Infinite-dimensional fiber bundles

In quantum models, one deals with infinite-dimensional smooth Banach and Hilbert manifolds and (locally trivial) Hilbert and C*-algebra bundles. The definition of smooth Banach (and Hilbert) manifolds follows that of finite-dimensional smooth manifolds in general, but infinite-dimensional Banach manifolds are not locally compact, and they need not be paracompact. In particular, a Banach manifold admits the differentiable partition of unity if and only if its model space does. It is essential that Hilbert manifolds satisfy the inverse function theorem and, therefore, locally trivial Hilbert bundles are defined. However, they need not be bundles with a structure group.

Infinite-dimensional Kahler manifolds provide an important example of Hilbert manifolds. In particular, the projective Hilbert space of complex rays in a Hilbert space E is such a Kahler manifold. This is the space the pure states of a C*-algebra A associated to the same irreducible representation of A in a Hilbert space E. Therefore, it plays a prominent role in many quantum models. For instance, it has been suggested to consider a loop in the projective Hilbert space, instead of a parameter space, in order to describe Berry's phase.

Sections of a Hilbert bundle over a smooth finite-dimensional manifold X make up a particular locally trivial continuous field of Hilbert spaces. Conversely, one can think of any locally trivial continuous field of Hilbert spaces or C*-algebras as being the module of sections of a topological fibre bundle. Given a Hilbert space E, let B be some C*-algebra of bounded operators in E. The following fact reflects the non-equivalence of Schrodinger and Heisenberg quantum pictures. There is the obstruction to the existence of associated (topological) Hilbert and C*-algebra bundles E->X and B->X with the typical fibres E and B, respectively. Firstly, transition functions of E define those of B, but the latter need not be continuous, unless B is the algebra of compact operators in E. Secondly, transition functions of B need not give rise to transition functions of E. This obstruction is characterized by the Dixmier--Douady class of B in the third Cech cohomology of X.

There is a problem of the definition of a connection on C*-algebra bundles which comes from the fact that a C*-algebra need not admit non-zero bounded derivations. An unbounded derivation  of a C*-algebra A obeying certain conditions is an infinitesimal generator of a strongly (but not uniformly) continuous one-parameter group of automorphisms of A. Therefore, one may introduce a connection on a C*-algebra bundle in terms of parallel transport curves and operators, but not their infinitesimal generators. Moreover, a representation of A does not imply necessarily a unitary representation of its strongly (not uniformly) continuous one-parameter group of automorphisms. In contrast, connections on a Hilbert bundle over a smooth manifold can be defined both as particular first order differential operators on the module of its sections.

Instantwise geometric quantization of time-dependent mechanics is phrased in terms of Hilbert bundles over the time axis R. Holonomy operators in a Hilbert bundle with a structure finite-dimensional Lie group are well known to describe the non-Abelian geometric phase phenomena. At present, holonomy operators in Hilbert bundles attract special attention in connection with quantum computation and control theory.


G.Giachetta, L.Mangiarotti, G.Sardanashvily, Geometric and Algebaic Topological Methods in Quantum Mechanics (WS, 2005)
G.Sardanashvily, G.Giachetta, What is a geometry in quantum theory, arXiv: hep-th/0401080
G.Giachetta, L.Mangiarotti, G.Sardanashvily, Geometric Formulation of Classical and Quantum Mechanics (WS, 2009)

Monday, 11 July 2011

Эра пилотируемых космических полетов человечества завершена

Эра пилотируемых космических полетов человечества заканчивается очень надолго, если ни навсегда. Летать человеку в космос незачем и не на чем.

Незачем, потому что пока в Солнечной системе не нашли ничего особенно интересного, важного и полезного, что, тем более, требовало бы присутствия человека.

Не на чем, потому что источники энергии путем химических реакций почти исчерпаны, а гипотетические ядерные или термоядерные двигатели, даже если и будут созданы, ситуацию радикально не изменят. Для свободного передвижения по Солнечной системе нужны скорости порядка 1000 км/сек. Единственным известным источником энергии для достижения таких скоростей космическим кораблем массой несколько тонн является аннигиляция материи и антиматерии, причем нужны десятки килограмм антиматерии. Вряд ли это когда-нибудь станет реальностью.

О полетах человека за пределами Солнечной системы в принципе речь не идет, правда, если не обнаружится что-то, радикально расходящееся с известными физическими законами.

Tuesday, 5 July 2011

Geometry in quantum theory I: Why familiar differential geometry contributes to quantum theory

Geometry of classical mechanics and field theory is mainly differential geometry of finite-dimensional smooth manifolds, fibre bundles and Lie groups.

The key point why geometry plays a prominent role in classical field theory lies in the fact that it enables one to deal with invariantly defined objects. Gauge theory has shown clearly that this is a basic physical principle. At first, a pseudo-Riemannian metric has been identified to a gravitational field in the framework of Einstein's General Relativity.  In 60-70th of XX century, one has observed that connections on a principal bundle provide the mathematical model of classical gauge potentials. Furthermore, since the characteristic classes of principal bundles are expressed in terms of the gauge strengths, one can also describe the topological phenomena in classical gauge models. Spontaneous symmetry breaking and Higgs fields have been explained in terms of reduced G-structures. A gravitational field seen as a pseudo-Riemannian metric exemplifies such a Higgs field. In a general setting, differential geometry of smooth fibre bundles gives the adequate mathematical formulation of classical field theory, where fields are represented by sections of fibre bundles and their dynamics is phrased in terms of jet manifolds.

Autonomous classical mechanics speaks the geometric language of symplectic and Poisson manifolds. Non-relativistic time-dependent mechanics can be formulated as a particular field theory on fibre bundles over R.

At the same time, the standard mathematical language of quantum mechanics and quantum field theory has been long far from geometry. In the last twenty years the incremental development of new physical ideas in quantum theory (including super- and BRST symmetries, geometric and deformation quantization, topological field theory, anomalies, non-commutativity, strings and branes) has called into play advanced geometric techniques, based on the deep interplay between algebra, geometry and topology.

Let us start with familiar differential geometry. There are the following reasons why this geometry contributes to quantum theory.

(i) Most of the quantum models comes from quantization of the original classical systems and, therefore, inherits their differential geometric properties. First of all, this is the case of canonical quantization  which replaces the Poisson bracket {f,f'} of smooth functions with the bracket [f, f'] of Hermitian operators in a Hilbert space. Let us mention Berezin--Toeplitz quantization and geometric quantization of symplectic, Poisson and Kahler manifolds.

(ii) Many quantum systems are considered on a smooth manifold equipped with some background geometry. As a consequence, quantum operators are often represented by differential operators which act in a pre-Hilbert space of smooth functions. A familiar example is the Schrodinger equation. The Kontsevich deformation quantization is based on the quasi-isomorphism of the differential graded Lie algebra of multivector fields (endowed with the Schouten--Nijenhuis bracket and the zero differential) to that of polydifferential operators (provided with the Gerstenhaber bracket and the modified Hochschild differential).

(iii) In some quantum models, differential geometry is called into play as a technical tool. For instance, a suitable U(1)-principal connection is used in order to construct the operators f in the framework of geometric quantization. Another example is Fedosov's deformation quantization where a symplectic connection plays a similar role. Let us note that this application has stimulated the  study of symplectic connections.

(iv) Geometric constructions in quantum models often generalize the classical ones, and they are build in a similar way. For example, connections on principal superbundles, graded principal bundles, and quantum principal bundles are defined by means of the corresponding one-forms in the same manner as connections on smooth principal bundles with structure finite-dimensional Lie groups.


G. Giachetta, L. Mangiarotty, G. Sardanashvily, Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics (WS, 2005)
G. Sardanashvily, G. Giachetta, What is geometry in quantum theory arXiv: hep-th/0401080

Saturday, 2 July 2011

История советской физики: Коэффициенты Фока - Иваненко

С математической точки зрения, в отличие от всех предыдущих работ по теории гравитации и её обобщениям в духе "единых теорий" (Эйнштейн, Вейль, Картан и др.), в работе В.А. Фока и Д.Д. Иваненко  [3] 1929 г. впервые рассматривалась, говоря современным языком, геометрия не касательного расслоения. Поэтому Нобелевский лауреат A. Салам ссылался на нее как на пионерскую работу по калибровочной теории. Фактически это первая калибровочная модель со спонтанным нарушением симметрий, которая позже легла в основу калибровочной теории гравитации.

Муссируется миф, что Иваненко был учеником Фока. Иваненко как студент слушал курс Фока и вместе с Ландау сдавал ему экзамен, но никогда под его руководством не работал [6].

Эта статья не первая работа Д.Д. Иваненко по уравнению Дирака. До сих пор цитируется его совместная статья с Ландау [1], в которой было предложено эквивалентное (в плоском пространстве) описание дираковских фермионов в терминах антисимметричных тензоров (т. е. внешних дифференциальных форм). Сейчас этот подход известен как геометрия Ландау – Кэлера. В начале 1929 г. для геометрической интерпретации уравнения Дирака Д.Д. Иваненко разрабатывает так называемую линейную геометрию, в основе которой лежит линейная метрика, т.е. интервал, а не квадрат интервала [2]. Эта работа очень заинтересовала В.А.Фока, и он с Д.Д.Иваненко начали обсуждать, как можно уравнение Дирака записать в искривленном пространстве. Они быстро нашли решение этой проблемы и представили свои результаты в мае 1929 г. на 1-й Советской теоретической конференции, организованной Д.Д. Иваненко в Харькове. Был сделан общий доклад (часть докладывал Д.Д. Иваненко, часть – В.А. Фок), после которого они направили свою совместную ставшую знаменитой работу [3] в печать, которая так и называется «Квантовая линейная геометрия и параллельный перенос». Она исходит из концепции линейной метрики и начинается с выражения для релятивистского интервала, введенного в статье Д.Д. Иваненко [2] по линейной геометрии. Ей также предшествовала работа Фока и Иваненко, где новый тогда тетрадный формализм применялся для ковариантной записи уравнения Дирака.

В то время Иваненко, в отличие от Фока, не стал продолжать исследования в казалось бы таком многообещающем направлении, поскольку, как он вспоминал, зарождавшаяся ядерная физика “все захлестнула”. И сменив тему, он, как оказалось, не прогадал.
Кроме того, проблема была в принципе решена, оставалась математическая техника, в которой он с Фоком соперничать не мог, да и не хотел – ему, по его научному стилю «десантника», как он сам себя характеризовал, это было уже не так интересно. Да и Фок по своей манере, ухватив идею, уже все делал сам, быстрее соавторов и соперников. Д.Д. вспоминал, что его предупреждали: «Будьте с Фоком осторожны. Поймает какую-то физическую идею. Потом сам это разработает, что вы не успели, а вас отставит в сторону». И действительно, Д.Д. рассказывал, что продолжал с Фоком работать, появился ряд новых вещей, и он предложил Фоку написать большую работу, но Фок отказался.

К тому же, в это время он начал тесно сотрудничать с Амбарцумяном, которого имел возможность приглашать в Харьков, став руководителем отдела теоретической физики УФТИ. В 1930 г. вышла их работа с гипотезой дискретности пространства-времени, как возможного решения некоторых проблем атомного ядра, и их революционная работа того же года с гипотезой рождения электронов при бета-распаде: что электроны не вылетают из ядра, а именно рождаются. Эта работа фактически заложила основы всей современной квантовой теории поля, что элементарные частицы появляются и исчезают. Формализм вторичного квантования тогда уже был разработан Иорданом, но его трактовали как вспомогательный прием. Иордан докладывал его на 1-ой Советской конференции по теоретической физике в 1929 г. в Харькове, и Иваненко, по его признанию, обратил внимание на этот доклад. Работа Амбарцумяна – Иваненко легла в основу протон-нейтронной модели атомного ядра Иваненко.

Оставив гравитацию, Д.Д. Иваненко, однако, в 1934 г. он издал перевод книги А. Эддингтона "Теория относительности" по неримановым геометриям и основанным на них обобщениям ОТО.

Его линейная геометрия позже развивалась рядом авторов, в том числе Зоммерфельдом, некоторыми японскими математиками.

Д.Д. Иваненко вернулся к теории гравитации в конце 50-х годов (тетрадная, калибровочная и обобщенные теории гравитации, проблема космологического члена, кварковые звезды и многое другое), хотя следует отметить его работу с А.А. Соколовым в 1947 г. по квантованию гравитационного поля [4]. Она основывалась на работах расстрелянного в 1938 г. М.П. Бронштейна, друга и коллеги Д.Д. Иваненко, на которые в то время никак нельзя было ссылаться. Неудивительно, что, исходя из своей работы 1929 г., Д.Д. Иваненко сразу и с большим энтузиазмом воспринял идею калибровочной теории, в основе которой лежит обобщенная ковариантная производная. Именно сборник переведенных на русский язык статей "Элементарные частицы и компенсирующие поля" под его редакцией дал толчок развитию калибровочной теории в нашей стране. Одним из научных результатов самого Д.Д. Иваненко в 70 – 80-е годы стало построение калибровочной теории гравитации, где гравитационное поле трактуется как своего рода хиггсовское поле [5].


[1] Iwanenko D., Landau L., Zur theorie des magnetischen electrons. I, Zeitschrift für Physik, Bd.48, s.340-348, 1928.
[2] Ivanenko D., Über eine verallgemeinerung der geometrie, welche in der quantenmechanik nützlich sein kann, ДАН СССР, N4, с.73-78, 1929.
[3] Fock V., Iwanenko D., Géometrie quantique linéaire et déplacement paralléle, Compt. Rend. Acad Sci. Paris, v.188, p.1470-1472, 1929.
[4] Иваненко Д.Д., Соколов А.А., Квантовая теория гравитации, Вестник МГУ, N.8, с. 103-115, 1947.
[5] Ivanenko D., Sardanashvily G., The gauge treatment of gravity, Physics Reports, v.94, pp.1-45, 1983.