The God has created a man in order that he creates that the God fails to do



Tuesday 26 August 2014

Foundations of modern physics 6: Lagrangian formalism



Lagrangian formalism on fibre bundles is formulated in a strict mathematical way. Therefore, it can be applied, e. g. to classical field theory (#) and non-autonomous classical mechanics (#) where dynamic variables are sections of fibre bundles.

Let Y->X be a fibre bundle over an n-dimensional smooth manifold X. A Lagrangian density Ld^{n}x (or, simply, a Lagrangian) of order r is defined as an exterior n-form on the r-order jet manifold J^{r}Y of Y->X. A Lagrangian can be introduced as an element of the variational bicomplex of a differential graded algebra of exterior forms on jet manifolds of Y->X of all order. The coboundary operator of this bicomplex contains the variational operator which, acting on a Lagrangian, defines the associated Euler – Lagrange operator and the corresponding Euler – Lagrange equations.

First and second Noether theorems also are formulated. To study symmetries of a Lagrangian, one considers vector fields on a fibre bundle Y which are treated as infinitesimal generators of one-parameter groups of automorphisms of Y. Such a vector field u is called a symmetry of a Lagrangian L if the Lie derivative of L along u vanishes. In this case, the first Noether theorem leads to a conservation law of the corresponding symmetry current.

References

WikipediA: Lagrangian system

G. Sardanashvily, Five lectures on the jet manifolds in field theory, arXiv: hep-th/9411089

G.Sardanashvily, Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians, arXiv: 0908.1886v1




4 comments:

  1. Хорошо бы иметь еще правильный Лагранжиан, а то с неправильным получаются неправильные решения, которые приходится переделывать и уходить от неправильного Лагранжиана. (vladimir-anski.livejournal.com/16076.html)

    ReplyDelete
  2. Это большая проблема. Вообще, например, проблема, почему теория поля лагранжева. Это ни откуда не выводится ...,В механике совсем плохо. Есть лишь эмпирическая "рекомендация", что в инерциальной системе лагранжиан является разностью кинетической и потенциальной энергии. Но и в этой "рекомендации" всё плохо определено. В релятивистской механике лагранжиан, вообще, строго не поределен поскольку есть преобразования между временем и остальными координатами. И в математике, лагранжев формализм строго строится только на расслоениях.

    ReplyDelete
  3. Я вижу это не так, не математически, а физически, грубо говоря. В механике есть работающие феноменологические уравнения, для которых можно написать Лагранжиан. В теории поля тоже, но только когда источники заданы. Также и в релятивистской механике - если внешние поля заданы, то Лагранжиан частицы вполне определен. Проблема появилась при совместном описании поля и частицы, когда ввели член "самодействия" для учета излучения. Излучение меняет полное поле и меняет динамику самой частицы, так что его надо бы учесть, но придуманный способ учета оказался плох. Формально теория как бы существует, и Лагранжиан тоже, но решения получаются не физичными. Во первых, главный член самодействия есть самоиндукция электрона, она очень зависит от его размера и устремляется к бесконечности в проделе точечного электрона. Это выражается в появлении в механическом уравнении инерционного члена с большой "электромагнотной" массой. Всё, движение нельзя изменить. Всякое ускорение (воздействие разумной внешней силы) подавляется бесконечно большой инерцией. Такой член выбрасывают, но остаток (конечный) тоже плох - он дает наоборот - самоускоряющиеся решения, так что это тоже не учет реакции излучения. Тогда этот член заменяют на еще один той же размерности силы, но более разумный физически (маленькие потери на радиационное трение). Этот последний член и применяют, хотя, строго говоря, он не обеспечивает полного закона сохранения. Я работал над правильным членом радиационного трения, но сил, денег и времени на эту задачу у меня нет. Если его найти (построить из физических соображений), то Лгаранжиан в теории поля будет.

    ReplyDelete
  4. Что касается моделей, то сам я сейчас занимаюсь лагранжианом классических хиггсовских полей.

    ReplyDelete