Современная наука: Ревизия логики II

Будучи ученым-материалистом, я –  приверженец диалектики как гносеологического учения и, более утилитарно, как методологии познания. Диалектика как «онтологическое» учение о развитии, главной категорией которого является противоречие, с моей точки зрения, применима к человеческому обществу и отчасти вообще к живой природе, то есть к системам, изменения в которых можно характеризовать как некое развитие. Хотя, что понимать под развитием? Во всяком случае, в неживой природе нет развития, нет противоречий и уж тем более нет «борьбы противоположностей», апофеозом которой является «отрицание отрицания». Конечно, физические системы структурированы, и динамика системы, сохраняющая данную структуру, подчиняется определенным закономерностям. Однако я не вижу в этом онтологического закона «перехода количества в качество», поскольку не возникает никакого нового физического взаимодействия и, если не углубляться в физику элементарных частиц, все является эффективным результатом действия электромагнитных и гравитационных сил. При этом сам по себе процесс научного познания человеком неживой природы может содержать элементы диалектики, но его основным инструментом являются формальная логика и математика.

Поэтому главная проблема методологии науки состоит в том, что и логика, и сами основы математики не являются универсальными, этаким категорическим императивом, а представляют собой результатом осознания человеком своего повседневного опыта.

Начну с математической логики. Ее предметом являются формальные системы – множества, на элементах которых определены операции, подчиняющиеся тем или иным логическим правилам человеческого мышления. Сами эти правила являются продуктом осмысления эволюционно сложившихся закономерностей психических процессов в человеческом сознании. Их характер определяет элементы формальной системы как суждения на некотором формальном «языке». Таким образом, математическая логика – это фактически абстрагированная логика человеческих суждений, и потому она «антропоморфна». Однако, например, разумный океан в «Солярисе» Лемма должен иметь какую-то другую логику, не логику суждений на языке слов, а в неживой природе вообще никаких «слов» и «суждений» нет.

Среди главных достижений математики XX века называют теоремы Геделя о неполноте. Первая из теорем Геделя утверждает, что во всякой достаточно развернутой (содержащей арифметику) формальной системе суждений  найдется формально неразрешимое суждение, то есть ни само это суждение, ни его отрицание не являются выводимыми в этой системе. Вторая теорема Геделя устанавливает, что при некоторых дополнительных условиях таким неразрешимым суждением является утверждение о непротиворечивости данной формальной системы. Теоремы Геделя развивали аксиоматическую теорию натуральных чисел Р. Дедекинда и Дж. Пеано. Опубликованные в 1931 г., они показали, что логика суждений внутренне противоречива, и, более того, знаменовали неудачу предложенной Гильбертом программы формализации математики.

Помимо математической логики фундамент современной математики составляет аксиоматика теории множеств. В начальный период своего развития в конце XIX века теория множеств основывалась на интуитивном понятии множества (в частности, у создателя теории множеств Г. Кантора). Однако вскоре оказалось, что неопределенность этого термина ведет к противоречиям (антиномиям), из которых наиболее известны антиномии Рассела (1902 г.) и Кантора (1899 г.). Развернувшаяся вокруг антиномий полемика стимулировала разработку аксиоматики теории множеств, хотя ее аксиомы тоже основаны на интуитивных представлениях. Первую аксиоматику теории множеств предложил Цермело в 1908 г. В настоящее время существуют различные аксиоматические системы теории множеств, которые разделяются на четыре группы. Из них отмечу системы Цермело – Френкеля и системы Геделя – Бернайса – Неймана. В математической физике главным образом используется аксиоматика Геделя – Бернайса – Неймана, на которой, в частности, базируется теория категорий. В рамках этой аксиоматики помимо множества вводится еще одно основное понятие – класс (чтобы не рассматривать слишком «большие» множества, что и приводит к антиномиям). Например, все множества образуют класс, а не множество. В отличие от множеств, классы не могут быть элементами классов и множеств. При всем разнообразии аксиоматических систем теории множеств, все они включают некоторые основные понятия и аксиомы. Например, это понятия: «быть элементом», подмножества, его дополнения и пустого множества, а также аксиомы существования объединения и пересечения множеств. Все эти понятия пришли из обыденной практики человека, имеющего дело с макроскопическими классическими объектами. Однако они не столь очевидны, например, в квантовом мире. В частности, квантовая система может не состоять из элементов, или не иметь подсистемы, или эта подсистема не имеет дополнения, и т. д.

Таким образом, развиваемая и используемая человечеством математика не является универсальной – она «антропоморфна». Поэтому познание природы посредством суждений заведомо ограничено по предмету и неполно по образу.

Лет двадцать назад была высказана идея разработать новую «квантовую» логику и новую «квантовую» математику. Однако проблема оказалась не в том, какую новую систему аксиом предложить, а в том, чтобы эта система вела к развернутой математической теории. Это пока не удается.

Почему же созданная человечеством математика оказалась содержательной? Потому что перед человеком был уже готовый богатый внешний мир, и он просто следовал его реалиям, строя свою математику. Фигурально говоря, он решал задачу, заведомо имевшую решение, которое просто надо было записать.

Развивая ту или иную «квантовую» математику, мы не знаем, имеет ли проблема в принципе решение. К сожалению, мы не можем поставить себя «на место кварка», и поэтому чего-то важного в квантовом мире не понимаем. Поэтому пока остается «тыкать пальцем в небо».