Problems of gravitation theory: What is a criterion of gravitational singularities?

The most of physically significant solutions of Einstein’s equations possess gravitational singularities. A problem however is that there is no generally accepted criterion of gravitational singularities.

It seems natural to identify gravitational singularities with singular values of a pseudo-Riemannian metric g, or a curvature tensor R, or scalar polynomials of a curvature tensor and its derivatives. However, this criterion is not quite satisfactory.

Firstly, the regularity of all these quantities fails to prevent us from such singular situations as incomplete geodesics, a breakdown of causality etc.

Secondly, it may happen that non-scalar gravitational quantities are singular relative to a certain reference frame while scalar polynomials are regular. One can think of such a singularity as being fictitious, which one can avoid by reference frame transformations.  However, these transformations are singular. 

Thirdly, if some scalar curvature polynomial takes a singular value, one can exclude a point of this singularity from a space-time. Although the remainder is singular too, the criterion under discussion fails to indicate its singularity.

For instance, a gravitational field g of a black hole is singular on its gravitational radius, whereas all scalar curvature polynomials remain regular. Consequently, this singularity is fictitious, while a real singularity lies in the center of a black hole.  

At present, the most recognized criterion of gravitational singularities is based on the notion of so called b-incompleteness. By virtue of this criterion, there is a gravitational singularity if some smooth curve in a space-time X can not be prolonged up to any finite value of its generalized affine parameter. In the case of time-like geodesics, this parameter is a usual proper time.

In order to describe such a b-singularity, singular points are replaced with a set of points, called the b-boundary, which a curve is prolonged to. Then one study the behavior of gravitational quantities with respect to a particular frame, propagated in parallel, as one approaches the b-boundary. In particular, one separated the regular (removable) singularities, scalar and non-scalar curvature singularities, and quasi-regular (locally-extendible) singularities. Unfortunately, the b-criterion also is not quite satisfactory as follows.

(i) It is impossible to examine the b-completeness of all curves in a space-time.

(ii) The construction of a b-boundary is very complicated, and one can define it only in a few particular cases. For instance, if X is a regular space-time and we exclude its regular point, the b-boundary need not coincide with this point.

(iii) The definition of a generalized affine parameter depends on a connection on X, but not a pseudo-Riemannian metric g.

(iv) The b-criterion of gravitational singularities can not indicate a breakdown of space-time causality, e.g., the existence of time-like cycles.

In a different way, gravitation singularities can be described as singularities of an associated space-time structure which is characterized by a time-like differential one-form h. In particular, no gravitational singularity is present if there exists a nowhere vanishing time-like exact form h=df. Then the equations f=const. define a foliation of X in space-like hypersurfaces and t=f is a global time. Space-time singularities are exemplified by a breakdown of causality, when h is not exact, topological transitions at points, where df=0, and the caustics of space-like hypersurfaces at points where a time function f becomes multivalued. However, this description of gravitation singularities also meets problems. For instance, the Minkowski space admits space-time caustics.

References

On geometric formulation of mechanics

Geometry of symplectic and Poisson manifolds is well known to provide the adequate mathematical formulation of autonomous Hamiltonian mechanics. The literature on this subject is extensive. Our recent book

 Geometric Formulation of Classical and Quantum Mechanics (WS, 2010)

presents the advanced geometric formulation of classical and quantum non-relativistic mechanics in a general setting of time-dependent coordinate and reference frame transformations. This formulation of mechanics as like as that of classical field theory (Advanced Classical Field Theory) lies in the framework of general theory of dynamic systems, Lagrangian and Hamiltonian formalism on fibre bundles.

Classical non-relativistic mechanics is formulated as a particular field theory on smooth fibre bundles over the time axis R. Quantum non-relativistic mechanics is phrased in the geometric terms of Banach and Hilbert bundles and connections on these bundles. A quantization scheme speaking this language is geometric quantization. Relativistic mechanics is adequately formulated as particular classical string theory of one-dimensional submanifolds.

Non-autonomous dynamic systems, Newtonian systems, Lagrangian and Hamiltonian non-relativistic mechanics, relativistic mechanics, quantum non-autonomous mechanics are considered.

The concept of a connection is the central ingredient in this geometric formulation. Connections on a configuration space of non-relativistic mechanics describe reference frames. Holonomic connections on a velocity space define non-relativistic dynamic equations. Hamiltonian connections in Hamiltonian non-relativistic mechanics define the Hamilton equations. Evolution of quantum systems is described in terms of algebraic connections. A connection on a prequantization bundle is the main ingredient in geometric quantization.

Our book provides a detailed exposition of theory of partially integrable and superintegrable systems and their quantization, classical and quantum non-autonomous constraint systems, Lagrangian and Hamiltonian theory of Jacobi fields, classical and quantum mechanics with time-dependent parameters, the technique of non-adiabatic holonomy operators, formalism of instantwise quantization and quantization with respect to different reference frames.

Reference:

G.Giachetta, L.Mangiarotti, G.Sardanashvily, Advanced mechanics. Mathematical introduction, arXiv: 0911.0411

История советской физики: Модель ядра Д.Д. Иваненко

Исполнилось 79 лет (простое число – «круглая» дата) протон-нейтронной модели ядра Д.Д. Иваненко. По своей фундаментальности она превосходит все другие достижения советских физиков и сопоставима с моделью атома Резерфорда. 

Д.Д. Иваненко 21 апреля 1932 г. подписал свою короткую знаменитую заметку о ядре [1], отправленную в “Nature”, опубликованную 28 мая. Сразу за этим он пишет более обширную статью [2], посланную в отечественный журнал “Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion”, полученную 16 мая и опубликованную несколько позже. Именно на нее ссылались Блэкетт и Оккиалини в своей знаменитой работе об открытии позитронов, поскольку существенно основывались на идеи рождения частиц, хотя отмечали, что на тот факт, что электрон и протон именно рождаются при аннигиляции нейтрона, указал им Дирак. После появления статьи Гейзенберга, полученной в редакции 7 июня, где он ссылается на заметку Д.Д. от 28 мая, Иваненко пишет еще одну работу [3], опубликованную 17 августа, в которой он окончательно отказывается от существования электронов внутри ядра. А 12 августа он отсылает статью с Е.Н. Гапоном [4] по оболочечной модели, которую дублирует в “Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion”. Таким образом, с апреля по август 1932 г. Д.Д. Иваненко пишет 4 статьи по ядру, причем, две из них предшествовали работе Гейзенберга.

Модель ядра сложилась у Д.Д. Иваненко не вдруг. Он ее многократно обсуждал с Вайскопфом, Амбарцумяном, Гапоном, Бронштейном. Ее даже одно время называли моделью Иваненко – Гапона, а могла бы стать и моделью Иваненко - Амбарцумяна. Повторю приведенные в моей книге о Д.Д. Иваненко [5] выдержки из его воспоминаний.

 «Он (Вайскопф), помню, яростно возражал мне несколько дней в Харькове. И это очень мне помогло. Возражения Вайскопфа меня как раз убедили, потому что я их отвергал, вижу, что это неверно. Потом, на следующий день, он – новые возражения, я опять их отвергаю. Вижу, что возражений нет, и я побеждаю».

«… соображений открытие нейтрона и привело к гипотезе, что атомные ядра составлены только из нейтронов и протонов. Мои коллеги при обсуждении этой гипотезы в марте – апреле 1932 г. не поддер­жали ее и сочли либо преждевременной (даже наиболее близкие по умо­настроению люди), либо ошибочной (Вайскопф); но как раз неубеди­тельность подобных замечаний все больше убеждала меня в правильности гипотезы».

«На этом пути, еще до открытия нейтрона, до установления модели ядра, мы с Амбарцумяном выдвинули целый ряд довольно фундаментальных идей. Напечатали, но эта работа сразу не привлекла внимания, а в дальнейшем оказалось, что она была существенной. Вроде кусок модели ядра подготовлен. Мы писали, что электроны внутри ядра не могут существовать, они не испускаются, а порождаются новые, их там не было внутри. Резерфорд просто говорил, что электрон и протон образуют тесную систему, которую назвал нейтроном. Неверно: нейтрон оказался потом элементарной частицей. Это самая сильная часть моей модели ядра, на которой Гейзенберг споткнулся, кстати сказать. Я хорошо помню, сколько об этом думал, что что-то похожее может быть у нас, и с Амбарцумяном обсуждал. В 31-м году он участвовал в конференции по магнетизму, которую я провел в Харькове. У него была особая манера всегда в президиум садиться, или если не в президиум, то обязательно в первый ряд – на всех фотографиях видно. Потом я вернулся в Ленинград. В Ленинграде я бывал дома у его отца, познакомился с ним – очень культурный армянский коллега. После одной из поездок в Харьков, где я журнал выпускал, когда у меня все больше и больше вырисовывалась идея модели ядра (а именно, что оно состоит из протонов и только что открытых нейтронов), я говорю: "Виктор Амазаспович, так как же...". – "Да, похоже, – он отвечает, – но давайте подождем, новые эксперименты и так далее". Модель ядра, собственно, моя, но одну из ее трудных частей мы подготовили вместе с Амбарцумяном. Задним числом выясняется, что одну из самых трудных. Так что он мог бы присоединиться. Но он все-таки колебался в самой нейтронной гипотезе, гипотезу он не признал. А Гейзенберг признал именно более простую часть, казалось бы, школьного типа, на базе которой можно разрабатывать теорию ядра, потому что не все же ядра испускают электроны. А более трудную мы подготовили с Амбарцумяном, но он не признал более легкую, более рискованную, которая понятна сразу, о том, что ядро состоит только из протонов и нейтронов – коротко и ясно».

На самом деле главной трудностью было не включение нейтрона в состав ядра, а исключение из него электронов. В своей первой знаменитой заметке [1] Д.Д. Иваненко еще допускает наличие внутриядерных электронов в составе альфа-частиц, но не нейтронов, то уже в следующей публикации в августе 1932 г. [2] он определенно говорит о рождении бета-электронов. В этом пункте он опирался на упомянутую работу с Амбарцумяном о рождении бета-электоронов, которая составляет основу всей современной квантовой теории поля. Важную роль в окончательном признании протон-нейтронной модели ядра сыграло открытие П. Блэкеттом и Дж. Оккиалини рождения и аннигиляции электронов и позитронов в космическом излучении, наглядно продемонстрированных своеобразными ливнями на фотографиях в камере Вильсона (конец 1932 г. – начало 1933 г.). При этом они ссылались именно на Иваненко и его трактовку бета-распада как процесс рождения электронов и учитывали теорию дырок и предсказание Дирака о рождении и аннигиляции пар частиц.

Модель ядра обсуждалась также с М.П. Бронштейном, через которого о ней знал Л.Д. Ландау: «мы обсуждали с ним еще до публикации мою протон-нейтронную модель ядер, которую, по словам Аббата, Ландау, возражая против нее, называл "филологией", болтовней». Публично Бронштейн озвучил ее при обсуждении докладов Ф. Перрена и Д.Д. Иваненко  на 1-й Советской ядерной конференции (Ленинград, 1933 г.).  А именно, спор о том, является ли протон или нейтрон элементарными или сложными частицами, имеет де филологический характер, поскольку, грубо говоря,  в релятивистской квантовой механике все является суперпозицией всего. Это было в духе Ландау – с большим апломбом и мимо. Волновая функция электрона не дает вклад в волновую функцию нейтрона, иначе нейтрон имел бы ненулевой лептонный заряд.

Еще один из упоминавшихся советских ученых Е.Н. Гапон – крупный физико-химик, был гимназическим товарищем Д.Д. В 1930 г. Е.Н. Гапон становится профессором Тимирязевской сельскохозяйственной академии, организовав и возглавив в ней кафедру физической химии. В 1932 г. он бывает в Ленинграде, где Д.Д. Иваненко обсуждает с ним, знающим изотопы, свою модель ядра и они вместе публикуют пионерскую работу по оболочечной модели ядра [4]. Как вспоминал Иваненко: «Е.Н. Гапон пытался еще в старой модели (как Бек и некоторые другие) распределять ядерные протоны и электроны по оболочкам в духе периодической системы (конечно, безуспешно). Неудивительно, что в протон-нейтронной модели он был рад увидеть новые возможности в этом направлении и специально приехал в Ленинград (летом 1932 г.) для обсуждения интересовавших его вопросов». Экспериментально было найдено, что по распространенности, числу изотопов, альфа- и бета-распаду, существует определенная периодичность в свойствах ядер: что ядра имеют большую стабильность при определенном числе нейтронов и протонов, когда число протонов равно числу нейтронов – магические числа 2, 8, 20, 50, 82, 126. В своей работе 1932 г. Д.Д. Иваненко и Е.Н. Гапон выдвинули идею распределения протонов и нейтронов по уровням и оболочкам в некоторой аналогии с построением менделеевской периодической системы. В рамках этой модели удавалось объяснить первые магические числа 2, 8, 20, а в работе В. Эльзассера и другие магические числа, но для них приходилось делать сложные предположения. Крупным успехом оболочечной модели было объяснение изомерии атомных ядер, открытой И.В. Курчатовым и Л.И. Русиновым в 1935 г. Однако в конце 1936 г. возобладала капельная модель ядра Н. Бора, Дж. Уилера, у нас – Я.И. Френкеля. Вновь интерес к оболочечной модели возродился после работ М. Гепперт-Майер, Г. Йенсена и О. Хакселя в 1949 г., которые учли спин-орбитальное взаимодействие и получили в 1963 г. Нобелевскую премию.

Ссылки:

Iwanenko D., The neutron hypothesis, Nature, v.129, N 3265, p.798, 1932

Iwanenko D., Neutronen und kernelektronen, Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion, Bd.1, s.820-822, 1932.

Iwanenko D., Sur la constitution des noyaux atomiques, Compt. Rend. Acad Sci. Paris, v.195, p.439-441, 1932

Gapon E., Iwanenko D., Zur Bestimmung der isotopenzahl, Die Naturwissenschaften, Bd.20, s.792-793, 1932.

Г.А. Сарданашвили, Дмитрий Иваненко - суперзвезда советской физики. Ненаписанные мемуары (УРСС, 2010)

Why connections in field theory

The main reasons why connections on fibre bundles play a prominent role in many contemporary field models lie in the fact that they enable us to deal with invariantly defined objects. Gauge theory shows clearly that this is a basic physical principle.

In gauge theory, connections on principal bundles are well known to provide the mathematical description of gauge potentials of the fundamental interactions. Furthemore, since the characteristic classes of principal bundles are expressed in terms of the gauge strength, one also meets the topological phenomena in classical and quantum gauge models, e. g., anomalies. All gauge gravitation models belong to the class of metric-affine theories where a pseudo-Riemannian metric and a linear (non-symmetric) connection on a world manifold are considered on the same footing as independent dynamic variables.

Though gauge theory has made great progress in describing fundamental interactions, it is a particular case of field theories on fibre bundles. Differential geometry of fibre bundles and formalism of jet manifolds give the adequate mathematical formulation of classical field theory, where fields are represented by sections of fibre bundles. This formulation also is applied to classical mechanics seen as particular field theory on fibre bundles over the time axis. In summary, connections are the main ingredient in describing dynamic systems on fibre bundles, and in Lagrangian and Hamiltonian machineries. Any dynamic equation on a fibre bundle, by definition, is a connection.

Jet manifolds provide the appropriate language for theory of (non-linear) differential operators and equations, the calculus of variations, and Lagrangian and Hamiltonian formalisms. For this reason, one usually follows the general definition of connections as sections of jet bundles in order to include them in a natural way in describing field dynamics.

In quantum field models, requiring theory of Hilbert and other infinite-dimensional linear spaces, the concept of a connection is rather new. It is phrased in algebraic terms as a connection on modules and sheaves. This notion is equivalent to the above mentioned geometric ones in the case of structure modules of fibre bundles. Extended to the case of modules over graded commutative and non-commutative algebras, it provides the language of supergeometry and non-commutative geometry.

References:

L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, Connections in Classical and Quantum Field Theory (WS, 2000)

G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, Advanced Classical Field Theory (WS, 2009)

Кризис "человеческой" науки

Созданная человечеством наука не универсальна, слишком антропоморфна и даже в основе своих основ – математической логике и аксиоматике теории множеств – исходит из повседневного опыта человека. Эта наука сталкивается с кардинальными трудностями, когда пытается описать, например, квантовые системы. Среди главных достижений математики XX века называют теорему Геделя о неполноте, которая  устанавливает, что во всякой формальной системе суждений в математической логике найдется формально неразрешимое суждение. Эта теорема знаменовала неудачу предложенной Гильбертом программы формализации математики и составляет ключевой принцип методологии всей современной науки. Действительно, сегодняшняя ситуация в теоретической физике вынуждает признать, что никакая сколько-нибудь сложная физическая система не описывается единственной теоретической моделью. Необходимы несколько моделей, каждая из которых имеет свою область приложения и характеризует только часть или какой-то один аспект физической системы. Причем, на пересечении областей приложения эти модели, как правило, принципиально не согласуются. В частности, до недавнего времени был широко популярен тезис Дирака: «Физический закон должен обладать математической красотой», написанный им на стене кабинета Д.Д. Иваненко на физфаке МГУ. Однако почти ни одна реалистическая модель этому тезису не удовлетворяет. Например, объединенная теория электрослабых взаимодействий, экспериментально подтвержденная, математически просто корява. Сейчас только классическая теория поля допускает целостную математическую формулировку в терминах расслоений. Фундаментальные проблемы остаются в классической механике: не удается даже дать определение инерциальных систем отсчета. В квантовой механике доминируют два принципиально несогласуемых метода квантования: алгебраическое (конструкция ГНС) и каноническое. Но главная «головная боль» современной теоретической физики – это квантовая теория поля. Некоторые ее части (аксиоматическая квантовая теория, пертурбативная квантовая теория, квантовая электродинамика) сами по себе выглядят удовлетворительно. Однако объединяющей их математической модели найти пока не удалось. Закрадывается сомнение, возможно ли это вообще в рамках созданной человеком математики. Поэтому уже лет двадцать пытаются разработать новую «квантовую» логику и новую «квантовую» математику. Однако трудность состоит не в том, какую новую систему аксиом предложить, а чтобы эта система вела к содержательной математической теории. Это пока не удается. К сожалению, мы не можем поставить себя «на место кварка», и поэтому чего-то важного в мире квантовых полей не понимаем.

What are general covariant transformations?

Based on the relativity principle, Einstein’s General Relativity and its contemporary generalizations are invariant under general covariant transformations. But what are general covariant transformations? Theoreticians write general covariant transformations of tensor fields in an explicit form, but do not define their class. For instance, what is a difference between general covariant transformations and gauge transformations in gauge theory? Is gravitation theory a gauge theory, and is a gravitation field a gauge field similarly to an electromagnetic field and gluons?

From the mathematical viewpoint, general covariant transformations characterize the category of so-called natural bundles S->X. Let us consider one-parameter groups of general covariant transformations and their infinitesimal generators.  These are defined as the functorial lift T(u) of vector fields u on a base X onto S so that the corresponding map T: V(X)->V(S) of the Lie algebra V(X) of vector fields on X to the Lie algebra V(S) of vector fields on a natural bundle S is the Lie algebra morphism, i. e.,

[T(u),T(u')]=T([u,u']).

For instance, the above mentioned tensor bundles, e. g., tangent and cotangent bundles of X are natural bundles.

It follows from this definition, that one should develop gravitation theory as classical field theory on natural bundles. Furthermore, in accordance with the geometric equivalence principle, the structure group of these bundles must be reducible to the Lorentz group and, thus, gravitation theory is classical field theory on natural bundles with spontaneous symmetry breaking. The corresponding Higgs field just is a gravitational field. In contrast with Higgs fields in gauge theory of internal symmetries, this Higgs field is dynamic because it is not brought into the constant Minkowski metric by general covariant transformations. 

References:

G. Sardanashvily, Gauge gravitation theory from geometric viewpoint, arXiv: gr-qc/0512115

G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, Advanced Classical Field Theory (WS, 2009)

Современная наука: Ревизия логики II

Будучи ученым-материалистом, я –  приверженец диалектики как гносеологического учения и, более утилитарно, как методологии познания. Диалектика как «онтологическое» учение о развитии, главной категорией которого является противоречие, с моей точки зрения, применима к человеческому обществу и отчасти вообще к живой природе, то есть к системам, изменения в которых можно характеризовать как некое развитие. Хотя, что понимать под развитием? Во всяком случае, в неживой природе нет развития, нет противоречий и уж тем более нет «борьбы противоположностей», апофеозом которой является «отрицание отрицания». Конечно, физические системы структурированы, и динамика системы, сохраняющая данную структуру, подчиняется определенным закономерностям. Однако я не вижу в этом онтологического закона «перехода количества в качество», поскольку не возникает никакого нового физического взаимодействия и, если не углубляться в физику элементарных частиц, все является эффективным результатом действия электромагнитных и гравитационных сил. При этом сам по себе процесс научного познания человеком неживой природы может содержать элементы диалектики, но его основным инструментом являются формальная логика и математика.

Поэтому главная проблема методологии науки состоит в том, что и логика, и сами основы математики не являются универсальными, этаким категорическим императивом, а представляют собой результатом осознания человеком своего повседневного опыта.

Начну с математической логики. Ее предметом являются формальные системы – множества, на элементах которых определены операции, подчиняющиеся тем или иным логическим правилам человеческого мышления. Сами эти правила являются продуктом осмысления эволюционно сложившихся закономерностей психических процессов в человеческом сознании. Их характер определяет элементы формальной системы как суждения на некотором формальном «языке». Таким образом, математическая логика – это фактически абстрагированная логика человеческих суждений, и потому она «антропоморфна». Однако, например, разумный океан в «Солярисе» Лемма должен иметь какую-то другую логику, не логику суждений на языке слов, а в неживой природе вообще никаких «слов» и «суждений» нет.

Среди главных достижений математики XX века называют теоремы Геделя о неполноте. Первая из теорем Геделя утверждает, что во всякой достаточно развернутой (содержащей арифметику) формальной системе суждений  найдется формально неразрешимое суждение, то есть ни само это суждение, ни его отрицание не являются выводимыми в этой системе. Вторая теорема Геделя устанавливает, что при некоторых дополнительных условиях таким неразрешимым суждением является утверждение о непротиворечивости данной формальной системы. Теоремы Геделя развивали аксиоматическую теорию натуральных чисел Р. Дедекинда и Дж. Пеано. Опубликованные в 1931 г., они показали, что логика суждений внутренне противоречива, и, более того, знаменовали неудачу предложенной Гильбертом программы формализации математики.

Помимо математической логики фундамент современной математики составляет аксиоматика теории множеств. В начальный период своего развития в конце XIX века теория множеств основывалась на интуитивном понятии множества (в частности, у создателя теории множеств Г. Кантора). Однако вскоре оказалось, что неопределенность этого термина ведет к противоречиям (антиномиям), из которых наиболее известны антиномии Рассела (1902 г.) и Кантора (1899 г.). Развернувшаяся вокруг антиномий полемика стимулировала разработку аксиоматики теории множеств, хотя ее аксиомы тоже основаны на интуитивных представлениях. Первую аксиоматику теории множеств предложил Цермело в 1908 г. В настоящее время существуют различные аксиоматические системы теории множеств, которые разделяются на четыре группы. Из них отмечу системы Цермело – Френкеля и системы Геделя – Бернайса – Неймана. В математической физике главным образом используется аксиоматика Геделя – Бернайса – Неймана, на которой, в частности, базируется теория категорий. В рамках этой аксиоматики помимо множества вводится еще одно основное понятие – класс (чтобы не рассматривать слишком «большие» множества, что и приводит к антиномиям). Например, все множества образуют класс, а не множество. В отличие от множеств, классы не могут быть элементами классов и множеств. При всем разнообразии аксиоматических систем теории множеств, все они включают некоторые основные понятия и аксиомы. Например, это понятия: «быть элементом», подмножества, его дополнения и пустого множества, а также аксиомы существования объединения и пересечения множеств. Все эти понятия пришли из обыденной практики человека, имеющего дело с макроскопическими классическими объектами. Однако они не столь очевидны, например, в квантовом мире. В частности, квантовая система может не состоять из элементов, или не иметь подсистемы, или эта подсистема не имеет дополнения, и т. д.

Таким образом, развиваемая и используемая человечеством математика не является универсальной – она «антропоморфна». Поэтому познание природы посредством суждений заведомо ограничено по предмету и неполно по образу.

Лет двадцать назад была высказана идея разработать новую «квантовую» логику и новую «квантовую» математику. Однако проблема оказалась не в том, какую новую систему аксиом предложить, а в том, чтобы эта система вела к развернутой математической теории. Это пока не удается.

Почему же созданная человечеством математика оказалась содержательной? Потому что перед человеком был уже готовый богатый внешний мир, и он просто следовал его реалиям, строя свою математику. Фигурально говоря, он решал задачу, заведомо имевшую решение, которое просто надо было записать.

Развивая ту или иную «квантовую» математику, мы не знаем, имеет ли проблема в принципе решение. К сожалению, мы не можем поставить себя «на место кварка», и поэтому чего-то важного в квантовом мире не понимаем. Поэтому пока остается «тыкать пальцем в небо».