Foundations of Modern Physics: 2. The notion of an inertial frame

The key problem of classical mechanics is that there is no intrinsic definition of an inertial reference frame.

Classical non-relativistic mechanics admits the adequate mathematical formulation in terns of fibre bundle Q->R over the time axis R. In this framework, a reference frame is defined as a trivialization of this fibre bundle or, equivalently, as a connection on Q->R.

A second order dynamic equation is called a free motion equation if it can be brought into the form of a zero acceleration ddq/dtdt=0 with respect to some reference frame, and this reference frame is said to be inertial for this equation. Thus a definition of an inertial frame depends on the choice of a free motion equation.

A problem is that, given a different free motion equation ddq’/dtdt=0, an inertial reference frame for it fails to be so the first free motion equation ddq/dtdt=0, and their relative velocity is not constant.

In view of this problem, one should write dynamic equations of non-relativistic mechanics in terms of relative velocities and accelerations with respect to an arbitrary reference frame. However, in this case the strict mathematical notions of a relative acceleration and a non-inertial force are rather sophisticated.

References:

G.Sardanashvily, Relative non-relativistic mechanics, arXiv: 0708.2998

G.Giachetta, L.Mangiarotti and G.Sardanashvily, Geometric Formulation of Classical and Quantum Mechanics (WS, 2010)

WikipediA: Free motion equation

Archive

Божественное на физфаке МГУ

На Физическом ф-те Московского государственного университета, вслед за МИФИ, расскажут о божественном http://lenta.ru/news/2014/01/22/religia/

Я считаю это позором моего факультета - следствием беспринципности его декана и ректора МГУ

Да и формально, кто бы во что бы ни сподобился уверовать, при всем уважении к его вере, но физфак – факультет Московского ГОСУДАРСТВЕННОГО университета, а церковь отделена от государства, и религиозная пропаганда от его имени, а тем более в его стенах представляется неуместной.

Вот программа этой конференции, проводимой как секция XXII МЕЖДУНАРОДНЫХ РОЖДЕСТВЕНСКИХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ЧТЕНИЙ .

11.8. Конференция «Христианство и наука».

Сопредседатели: протоиерей Кирилл Копейкин, секретарь Санкт-Петербургской
Духовной академии и семинарии, кандидат богословия, к. ф.-м. н.;
Владимиров Юрий Сергеевич, профессор физического факультета МГУ им.
М. В. Ломоносова, д. ф.-м. н.
Куратор: Белинский Александр Витальевич, д. ф.-м. н., ст. н. с. физического факультета
МГУ им. М. В. Ломоносова.

Время проведения: 28 января, 10.00.

Место проведения: Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, аудитория 5-19.

Проезд: м. «Университет», далее одна остановка транспортом или пешком в сторону
Главного здания МГУ (ост. «Ул. Лебедева»).

1. Владимиров Юрий Сергеевич, профессор физического факультета МГУ имени
М. В. Ломоносова, д. ф.-м. н. «Фундаментальная физика и религия».

2. Протоиерей Кирилл Копейкин, секретарь Санкт-Петербургской Духовной
академии и семинарии, кандидат богословия, к. ф.-м. н. «Мир – физический
или психический?»

3. Катасонов Владимир Николаевич, доктор богословия, д. филос. н., профессор,
зав. кафедрой философии Общецерковной аспирантуры и докторантуры имени
свв. равноапп. Кирилла и Мефодия. «Парадоксы Галилео Галилея».

4. Протоиерей Димитрий Кирьянов. Тобольская духовная семинария.
«Эволюционное объяснение религии: выход за границы возможного».

5. Поройков Сергей Юрьевич, член Российского философского общества, к. ф.-
м. н. «Общие научные основания мировых религий».

6. Ефремов Александр Петрович, профессор Российского университета дружбы
народов, д. ф.-м. н. «О “частице Бога” и физической мифологии».

7. Векшенов Сергей Александрович, профессор Российской академии образования,
д. ф.-м. н. «Наука и вера в русской математической школе».

8. Постовалова Валентина Ильинична, профессор Института языкознания РАН,
д. филол. н. «Наука, философия, религия: богословские воззрения
протоиерея Александра Геронимуса».

9. Кречет Владимир Георгиевич, профессор Ярославского государственного
педагогического университета, д. ф.-м. н. «О метафизике разума и
человеческого сознания».

10. Протоиерей Василий Павлов, Симферопольская и Крымская епархия.
«Эволюция ноосферы».

11. Родионов Борис Устинович, профессор Российской академии образования, д. ф.-
м. н. «Божественные параллели аэронавтики».

12. Захаров Валерий Дмитриевич, ст. н. с. Всероссийского института научной и
технической информации, к. ф.-м. н. «Этнос и космос в свете религиозного
сознания (к религиозной интерпретации этнологии Льва Гумилева)».

13.Соркин Эдуард Исаевич, руководитель отделения Российского философского
общества «Основания и конструкции знания» школы Ю.П. Трусова. «Научная и
семейная реализация “вечной женственности”».

14. Игумен Владимир (Маслов), Свято-Екатерининский монастырь. «Не видеть
очевидного».

15. Белинский Александр Витальевич, ст. н. с. физического факультета МГУ им.
М.В. Ломоносова, д. ф.-м. н. «Мир сей во зле лежит».

16.Владимирова Татьяна Евгеньевна, профессор ЦМО МГУ им. М.В. Ломоносова,
д. филол. н. «Человек как духовное самосозидание».

17. Ерохин Владимир Петрович, редактор издательства «Волшебный фонарь».
«Недвойственные постижения: перекличка культур».

18. Муравник Галина Леонидовна, генетик, преподаватель Свято-Филаретовского
православного института. «Генетически модифицированные организмы.
Развенчание мифов и преодоление стереотипов».

И вот что получилось: http://www.gazeta.ru/science/2014/01/29_a_5872289.shtml

Архив

Foundations of Modern Physics: 1. The differential calculus on modules and rings

Differential geometry of smooth fiber bundles provides the comprehensive formulation  of classical field theory and mechanics.

At the same time, geometry in quantum systems speaks mainly the algebraic language of rings, modules and sheaves due to the fact that basic ingredients in the differential calculus and differential geometry of smooth manifolds can be restarted in a pure algebraic way.

Let X be a smooth manifold and C(X) a ring of smooth real functions on X. A key point is that, by virtue of the well-known Serre--Swan theorem, a C(X)-module is finitely generated and projective iff it is isomorphic to a module of sections of some smooth vector bundle over X. Moreover, this isomorphism is a categorial equivalence. Therefore, differential geometry of smooth vector bundles can be adequately formulated in algebraic terms of a ring C(X), its derivations and the Koszul connections.

In a general setting, let K be a commutative ring, A an arbitrary commutative K-ring, and P,Q some A-modules. The K-linear Q-valued differential operators on P can be defined. The representative objects of functors Q-> Dif(P,Q) are jet modules JP of P. Using the first order jet module J^1P, one also restarts the notion of a connection on an A-module P.

As was mentioned above, if P is a C(X)-module of sections of a smooth vector bundle Y-> X, we come to the familiar notions of a linear differential operator on Y, the jets of sections of Y-> X and a linear connection on Y-> X.

Let K be a commutative ring, A a (commutative or non-commutative) K-ring, and Z(A) the center of A. Derivations of A constitute a Lie K-algebra DA. Let us consider the Chevalley-Eilenberg complex of K-multilinear morphisms of DA to A, seen as a DA-module. Its subcomplex O*(A) of Z(A)-multilinear morphisms is a differential graded algebra, called the Chevalley – Eilenberg differential calculus over A. If A is an R-ring C(X) of smooth real functions on a smooth manifold X, the module DC(X) of its derivations is a Lie algebra of vector fields on X, and the Chevalley-Eilenberg differential calculus over C(X) is exactly an algebra of exterior forms on a manifold $X$ so that the Chevalley-Eilenberg coboundary operator d coincides with an exterior differential, i.e., O*(A) is the familiar de Rham complex. In a general setting, one therefore can think of elements of the Chevalley – Eilenberg differential calculus over an algebra A as being differential forms over A.

Similarly, the differential calculus over a Grassmann-graded commutative ring is constructed. This is the case of supergeometry. In supergeometry, connections on graded manifolds and supervector bundles are defined as those on graded modules over a graded commutative ring and graded local-ringed spaces.

Note that a Grassmann-graded commutative ring is a particular non-commutative ring. However, the definition of its derivations differs from the non-commutative Leibniz rule. Therefore, supergeometry is not particular non-commutative geometry.

Non-commutative geometry also is developed as a generalization of the calculus in commutative rings of smooth functions. In a general setting, any non-nommutative K-ring Aover a commutative ring K can be called into play. One can consider the above mentioned Chevalley – Eilenberg differential calculus over A. However, the definition of differential operators on modules over commutative rings fails to be straightforwardly extended to the non-commutative ones. A key point is that A-module morphisms fail to be zero order differential operators if A is non-commutative. In this case, several nonequivalent definitions of differential operators have been suggested. Accordingly, there are also different definitions of a connection on modules over a non-commutative ring.

References:

G. Sardanashvily, “Lectures on Differential Geometry of Modules and Rings. Application to Quantum Theory" (Lambert Academic Publishing, Saarbrucken, 2012) (#)

G. Sardanashvily, Lectures on differential geometry of modules and rings, arXiv: 0910.1515

WikipediA: Differential calculus over commutative algebras

WikipediA: Connection (algebraic framework)

Archive